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Petit théorème de Fermat             « grand » théorème

Si p est un entier naturel premier alors, pour tout entier a, a ^p aura même reste que a dans la division euclidienne par p

 On peut aussi énoncer que a^p - a est divisible par p ou que a^p a  [p] en utilisant le concept de congruence (notation ) mis en place par Gauss. Rappelons ici que la réciproque de ce théorème est fausse, par exemple : 2³⁴¹ 2  [341] et pourtant 341 = 11 x 31 n'est pas premier.

• si a est un multiple de p (0 compris), le cas est trivial : a^p - a est divisible par p.
• si a n'est pas multiple de p, la liste des restes possibles de la division de a par p est :

1 , 2 , 3, ..., (p - 1)

0 est exclu car p ne divise pas a. Étudions alors la liste de produits a , 2a , 3a , ... (p - 1)a, obtenue en multipliant tous les restes par a. Tous ces nombres sont distincts et non nuls et il en est de même modulo p. En effet, un élément de la liste est de la forme :
k x a  avec 1 k p -1

• ka n'est pas divisible par p : sinon, p étant premier, il est premier avec tout nombre lui étant inférieur. Ainsi p est premier avec k et il devrait diviser a (usage anachronique d'un théorème de Gauss bien connu des Ter S, spé Math...), ce qui est contraire à notre hypothèse.
• si k et k' sont distincts, alors ka et k'a le sont aussi modulo p: plaçons-nous dans Z/pZ, et supposons au contraire ka k'a  [p] .
  On aurait alors a(k - k') 0  [p], donc a 0  [p] ou k - k' 0  [p] car Z/pZ est un anneau intègre puisque p est premier. Ces deux éventualités sont à rejeter car d'une part a n'est pas multiple de p, d'autre part k et k ' représentent des restes distincts dans la division par p.

En conséquence, la liste a , 2a , 3a , ... (p - 1) constitue donc encore, modulo p et dans un ordre sans doute différent, la liste 1 , 2 , 3, ..., (p - 1). On peut alors écrire, modulo p :

a x 2a x 3a x ... x (p - 1)a   1 x 2 x 3 x ... x (p - 1)

Ce qui s'écrit finalement : a^p-1 x (p - 1)! (p - 1)!  [p]. Mais (p - 1)! n'est pas nul modulo p, puisque c'est le produit de p - 1 éléments non nuls de l'anneau intègre Z/pZ. Par suite :

 

Théorème de Wilson :

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